Los más grandes

Ya os he dicho que, de operar con fracciones, sabéis lo mismo que los mejores matemáticos del mundo. ¿Y quiénes son esas criaturas?

Empiezo por los más grandes de la Historia. Voy a reducirlo a cuatro que son indiscutibles:

Arquímedes (s. III a. de C.): unos de los mayores genios de la Antigüedad. Algunos de sus trabajos anticiparon ideas del cálculo infinitesimal que se desarrollaría dos milenios más tarde. Murió asesinado por un soldado romano en el sitio de Siracusa pese a que había órdenes de capturarlo vivo.

Newton (s. XVII): el Dios absoluto de la Ciencia. Su "Philosophiæ naturalis principia mathematica" es la obra científica más importante de la Historia: establece los cimientos de la Física y revoluciona las Matemáticas con el descubrimiento del Cálculo Infinitesimal (otro gran matemático, Leibniz, lo descubrió de forma independiente en la misma época y la polémica fue de órdago).

Euler (s. XVIII): quedarse ciego no le impidió ser el matemático más prolífico de la historia. Trabajó en multitud de campos siendo pionero en muchos de ellos.

Gauss (s. XIX): conocido como el "Príncipe de las Matemáticas" fue posiblemente el último gran matemático capaz de dominar todos los campos: geometría, álgebra, topología, estadística...

¿Y un "poco" más modernos? ¿En los últimos tiempos? Vamos a dejarlo también en cuatro:

Andrew Wiles: demostró en 1993 el Último Teorema de Fermat, que había resistido más de tres siglos a los mejores matemáticos del mundo.

Terence Tao: un ex-niño prodigio (en la actualidad tiene 50 años). Especialista en Teoría de números, resuelve como si nada problemas inaccesibles para el resto de los mortales. Si hacéis clic en la imagen podéis visitar su blog (el segundo mejor blog de matemáticas del mundo 😂).

Grigori Perelman: muy famoso, por haber demostrado la Conjetura de Poincaré... y por ser un "bicho raro" que vive apartado y renunció a varios premios (y a sus correspondientes millones de dólares).

Maryam Mirzajani: espero que no necesite presentación en este blog. Primera mujer en ganar la Medalla Fields (el "premio Nobel" de las Matemáticas).

¿Y alguno de nuestra tierra? Desgraciadamente España no ha destacado en la historia de la Humanidad por el talento de sus científicos. Entre las honrosas excepciones se encuentra un paisano nuestro, el logroñés:

Julio Rey Pastor

Preparando el control de operaciones con fracciones

INSTRUCCIONES DE USO

1) Os sentáis tranquilos y solos en vuestra casa y hacéis este control en una hora de reloj:

Control

2) Consultáis la solución y os ponéis nota corrigiendo cada cuenta a bien o mal según el resultado final (bien, 1 punto; mal, 0 puntos; ¿y si no está simplificado, David? ¡También 0 puntos! Que os duela).

Solución

3) El martes me lo entregáis con la nota puesta.

4) ¡LO MÁS IMPORTANTE! DESPUÉS DE HABERLO HECHO, REPASAD la resolución y detectad los fallos. En este tipo de tareas es habitual repetir los mismos errores: por eso es importante darse cuenta de cuáles son.

Cuatro "sustos científicos" en la Historia de la Humanidad

Hay varios momentos en la Historia de la Humanidad en los que la ciencia ha llegado a descubrimientos que han roto las creencias tenidas hasta ese momento por inmutables. Os voy a hablar de cuatro de ellos:

1) Los números irracionales: os lo he contado en la anterior entrada. Los griegos del siglo V antes de Cristo pensaban que todos los números eran fracciones (que podían expresarse como "trocitos" del 1). Aquí os intento explicar el descubrimiento de la irracionalidad de raíz de 2 (no es complicado pero sí muy lioso para vosotros que todavía no estáis acostumbrados a razonamientos abstractos; os invito que cojáis lápiz y papel, os concentréis e intentéis entenderlo y reproducirlo).

2) Las matemáticas no son infalibles: uno de los mejores matemáticos del siglo XX, Kurt Gödel (todo un personaje; os recomiendo que leáis su biografía en la Wikipedia) demostró que hay resultados en matemáticas que no son ni ciertos ni falsos (ojo, no estoy diciendo que no se sepa si son ciertos o falsos -de esos hay muchos-, digo que no son ni lo uno ni lo otro). Esto fue una cura de humildad para la reina de las ciencias, que siempre había "presumido" de ser un edificio de una completa lógica (y lo lógico es que algo sea cierto o falso).

3) La dilatación del tiempo: Einstein descubrió en sus dos teorías de la Relatividad que el tiempo transcurre a distinta "velocidad" para personas si estos se mueven entre sí o si están situados (o no) cerca de objetos con mucha masa. La película Interstellar juega con esa idea: un padre hace un viaje espacial en el que pasa un ratito en un planeta cercano a un agujero negro con mucha masa.

Cuando "poco tiempo después" (para él), vuelve del viaje, se produce el emotivo reencuentro:

Pero no hace falta ir a las cercanías de un agujero negro: nuestros dispositivos GPS funcionan porque tienen en cuenta este hecho cuando reciben las señales de los satélites.

GPS y Teoría de la relatividad

4) Los electrones son unos cachondos: uno de mis vídeos favoritos.

¿Qué cara se os ha quedado?

Los números irracionales (2ª parte)

Vamos a viajar al siglo V a.C., a la antigua Grecia. En ella existía un grupo de matemáticos/filósofos (entonces venían a ser lo mismo) que eran conocidos como los pitagóricos (no hace falta explicar de quién eran seguidores). Su principal creencia era que todo el Universo podía ser explicado con números y que todos los números eran fracciones, es decir, que se podían formar haciendo trocitos iguales y quedándose con unos cuantos. Parecía algo obvio. Estas han sido vuestras respuestas a la encuesta:

Traducido a nuestras matemáticas actuales, equivale a pensar que cualquier número se puede poner en forma de fracción. Para algunos (decimales exactos o periódicos), sabemos hacerlo:

Pero, ¿es así para cualquier número? ¿cualquier número decimal puede ponerse en forma de fracción? 

Como hemos dicho, los griegos pensaban que sí, hasta que uno de ellos, Hipaso de Metaponto, aplicó el Teorema de Pitágoras a un triángulo como el de la derecha y se preguntó, ¿cuál será la fracción que vale raíz cuadrada de 2? 

Como Hipaso manejaba perfectamente el Teorema Fundamental de la Aritmética (¡sí, el de los números primos haciendo de ladrillos!), no le costó mucho deducir, para su sorpresa, que no había ninguna fracción cuyo valor fuese raíz de 2. No es difícil demostrarlo aunque es un razonamiento demasiado abstracto a estas alturas de vuestra vida. El lunes os subo un vídeo para los más curiosos.

Este descubrimiento provocó un terremoto en la escuela pitagórica. Cuenta la leyenda que sus compañeros lo arrojaron al mar por revelar fuera de la secta esta catástrofe, aunque en realidad parece ser que lo que hicieron fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto.

En la actualidad sabemos que sólo los números decimales exactos (que tienen un número finito de cifras decimales) y los números decimales periódicos (aquellos en los que hay un bloque que se repite continuamente) se pueden escribir en forma de fracción (los llamamos números racionales). Los que tienen infinitas cifras decimales sin periodo son los números irracionales (¡el nombre lo dice todo!) y raíz de 2 tiene el honor de haber sido el primero que descubrimos gracias a Hipaso, que se ganó la inmortalidad.

Vamos a responder a algunas preguntas que pueden venirnos a la cabeza:

¿Cuántas cifras decimales tiene raíz de 2? Infinitas porque es irracional. Además no hay ningún bloque que se repita periódicamente.

¿Cómo podemos conocer sus cifras decimales? En este caso sólo hay una manera, calculándolas. Es una tarea muy pesada que se hace con ordenadores. En el futuro os explicaré algunas técnicas. Aquí va un enlace en el que podéis ver el primer millón de cifras de raíz de 2 (para la calculadora: 1'414213562...)

Cifras decimales de raíz de 2

¿Sirve para algo calcular tantas cifras decimales? Para nada. En cualquier situación real en la que se necesite hacer cálculos con raíz de 2 (construir una casa, lanzar un satélite, fabricar un coche...), con conocer unas pocas cifras decimales sobra.

¿Por qué se calculan entonces tantas cifras decimales? Es una especie de competición "deportiva" de matemáticos e informáticos para demostrar la potencia de sus técnicas y sus superordenadores.

Vamos, que hay por ahí matemáticos perdiendo el tiempo. No del todo. Las técnicas que se desarrollan para calcular los decimales pueden tener aplicaciones prácticas en otros campos.

Una última pregunta: entonces, ¿los números irracionales son aquellos de los que no sabemos cómo van sus cifras decimales? No necesariamente. Son aquellos que tienen infinitas y no hay bloques (periodos) que se repiten, pero algunos sí que pueden seguir patrones. Por ejemplo, son números irracionales:

0'12345678910111213141516... ¿cómo sigue?

0'010010001000010000010000001... ¿cómo sigue?

Otra, otra: ¿cuántos números racionales hay? ¿e irracionales? Hay infinitos de los dos tipos... pero... y eso ya son matemáticas un poco más serias... ¡¡hay más números irracionales que racionales!!

¡La última de verdad! Y aparte de los racionales y los irracionales, ¿hay más números?

¿A que quedaría bonito como póster en vuestra habitación?

Concurso de Primavera

Spring in coming!

El próximo jueves 29 de enero haremos en clase el examen clasificatorio para la Fase Final del Concurso de Primavera. Os recuerdo lo que ya os comenté en una entrada anterior:

¿Quiénes podéis participar?  En principio lo haremos todos.

¿Cómo es la prueba? Aquí os subo como ejemplo la de 2023.

Ejemplo de examen

¿Quiénes competís? Hay varios niveles. En el vuestro (Nivel 2) competiréis con todos los alumnos de 1º y de 2º de ESO de La Rioja.

¿Y después? Los cuatro mejores del instituto en cada nivel accederéis a la la Fase Final del concurso, que se celebrará la mañana del sábado 18 de abril de 2026, en las aulas del COMPLEJO CIENTÍFICO TECNOLÓGICO del Campus Universitario de la Universidad de La Rioja.

¿Merece la pena? Os lo tenéis que tomar como una actividad recreativa para retarse a uno mismo. ¡Y en la fase final hay jugosos premios!

¿Cómo podéis prepararos? Aquí tenéis los enlaces a las pruebas desde el año 2000. Os podéis descargar incluso los libros con las soluciones comentadas:

Exámenes de otros años

Además, la Sociedad Riojana de Profesores de Matemáticas ha creado  una web en la que podéis consultar exámenes de otros años y resolver ejercicios online (pulsad directamente en Acceder, sin Usuario ni Contraseña; si los tenéis de otro año podéis usarlo).

Enlace a la Web del Concurso de Primavera

Y ya que estamos hablando de concursos, os informo que dos alumnos de La Laboral han obtenido el primer y tercer puesto en la fase regional de la Olimpiada de Matemáticas. Ya sabéis: ¡si os cruzáis con Jialiang y Rubén por los pasillos, tenéis que hacerles una reverencia!

Los números irracionales (1ª parte)

Cuenta la leyenda que una persona murió (¿asesinada?) por estropearles a los griegos el siguiente juego. Os explico las reglas y hacemos una encuesta.

Supongamos que tenemos un palito de longitud 1 (da igual la unidad, un metro si queréis). Con ese palito podemos hacer dos cosas:

1) Podemos partirlo en trozos, con la única condición de que sean todos iguales.

2) Podemos coger algunos trozos de los anteriores (cuantos queramos: ninguno, unos pocos, muchos, o todos) y volverlos a pegar.

Ahora nos preguntan si, cogiendo un palito y siguiendo esas dos reglas, podemos formar palitos que midan exactamente cualquier longitud que nos digan entre 0 y 1. Vamos a hacer algunos ejemplos:

¿Podemos formar un palito que mida 0’3? Pues sí:

¿Podemos formar un palito que mida 0’13? Sí, con una idea parecida:

Si habéis pillado la idea deberíais contestar fácilmente a las dos primeras preguntas:

Pregunta 1: ¿Podemos formar un palito que mida 0’423? (Y en realidad, cualquier longitud con tres cifras decimales).

Pregunta 2: ¿Podemos formar un palito que mida 0’9677? (Y en realidad, cualquier longitud con cuatro cifras decimales).

Pero también podemos formar longitudes con infinitas cifras decimales, por ejemplo, ¿podemos formar un palito de longitud 0'6666666666666...? Fácilmente, si recordamos que ese número escrito en forma de fracción es dos tercios (¡podéis usar la calculadora!):

Pregunta 3: ¿Podemos formar un palito que mida 0’16666666...? (Probad a hacer divisiones con la calculadora hasta que os salga este número).

¡Nota importante! En Matemáticas contestar no es decir Sí o No, es, aparte de eso, justificar la respuesta. En los tres casos si es que sí (y ya os digo yo que es que sí), ¿cómo conseguís un palito con cada longitud que nos piden?

Aquí llega la encuesta (¡tenéis que responder todos!):

Haz clic para votar en la encuesta

Además, los que contestéis a las tres preguntas (me entregáis la respuesta en clase), participaréis en el sorteo de una calculadora. El plazo termina el próximo viernes 23 de enero.

Examen del Tema 5. Números decimales

No hace falta que os diga lo que tenéis que hacer:

Examen

Solución

Material del Tema 6. Números racionales

En este tema os contaré un momento "shock" en la Historia de la Humanidad, en el que ocurrió algo que hizo saltar por los aires una creencia científica -en este caso, matemática-, que se consideraba una verdad inmutable (la leyenda cuenta que se produjo un asesinato). Lo intentaré por aquí, en el blog, mientras en clase nos dedicamos a:

1) Definición de número racional.

2) Operaciones con fracciones.

3) Problemas: las fracciones como manera de medir una parte de un total.

Utilizaremos el siguiente material:

Las fracciones como un número

Operaciones combinadas

Ejercicios con fracciones

Hoja de problemas

Soluciones de los problemas

Preparando el examen del Tema 5. Números decimales

¡Feliz 2026! 

Vamos a empezar bien el año. El próximo jueves os pondré un calco de esto:

Examen

Solución

Hacedlo en casa (recordad que para los problemas podéis usar la calculadora) y el miércoles repasamos cómo os ha ido.